Distribuciones Binomial 

Una distribución binominal es una distribución de probabilidades discreta que describe el número de éxitos al realizar experimentos independientes entre si, acerca de una variable aleatoria. 

                                       Triangulo de Pascal 

Es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su tratado del triángulo aritmético.​ Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos antes del triángulo de Pascal, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton

Todas las cifras escritas en cada fila del triángulo corresponden a los coeficientes del desarrollo de las potencias del binomio de Newton.  ejemplo.

${\displaystyle (a+b)^{2}=1a^{2}+2ab+1b^{2}\quad }$

${\displaystyle (a+b)^{3}=1a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1b^{3}\quad }$

${\displaystyle \dots }$

Con estos ejemplos se concluye que la serie de la expresión general que los desarrolla es:

${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}...+b^{n}}$

De esta forma, los coeficientes desarrollados de la forma (a+b)ⁿ se encuentran en la fila «n+1» del Triángulo de Pascal.

Si a cada nodo de este triángulo en cada fila lo denominamos z, nos quedaría la serie que describe la expresión general.

${\displaystyle (a+b)^{n}=z_{1}a^{n}+z_{2}a^{n-1}b+z_{3}a^{n-2}b^{2}...+z_{n}b^{n}}$

En esta serie ${\displaystyle z\in \mathbb {N} }$, dónde z va desde 1 hasta n.

Ejemplo 

Binomio (x+y)4.

En este caso la potencia es 4, por lo que tenemos que usar la fila 4+1=5. Esta fila corresponde a los números 1,4,6,4,1. Estos son los coeficientes de la expansión binomial y nos dice que tendremos 5 términos en la expansión. Sabemos que expandimos un binomio al empezar con cada término en la potencia más alta y reducir hasta llegar a 0, cada término en dirección opuesta.

(x+y)4

1x4y0+4x3y1+6x2y2+4x1y3+1x0y4

1x4(1)+4x3y1+6x2y2+4x1y3+1(1)y4

x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

                         Propiedades 

Una vez sentadas las bases del intrínseco correlato existente entre estos dos campos de las matemáticas, véanse las propiedades de estos.

Esta imagen representa el triángulo de Pascal matricialmente, y además aplicable a combinatoria. Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número de la fila n y la columna p, corresponde a ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}}$, o también denotado como ${\displaystyle \mathbf {C} _{n}^{p}}$ (${\displaystyle \mathbf {C} }$ por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos (0). Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal.

• Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que ${\displaystyle {\tbinom {n}{n-p}}={\tbinom {n}{p}}.}$

• Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}=0}$ cuando ${\displaystyle p>n}$.

• Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}+{\tbinom {n}{p+1}}={\tbinom {n+1}{p+1}}.}$

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de ${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}}$ es

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n},}$

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Triangulo de Pascal en Probabilidades

Ejemplo.

Supongamos que una moneda es lanzada 4 veces, las probabilidades de las combinaciones son.

CCCC

CCCS,CCSC,CSCC,SCCC

CCSS,CSCS,CSSC,SCCS,SCSC,SSCC

CSSS,SCSS,SSCS,SSSC

SSSS.

El patrón observado es 1,4,6,4,1. Si estamos buscando el número total de probabilidades, solo tenemos que sumar los números. Es decir, tenemos 1+4+6+4+1=16 combinaciones posibles si es que lanzamos una moneda 4 veces.